Александр Калинин родился в 1955 году в Москве. В 1978 году он с отличием окончил Московский инженерно-физический институт (МИФИ) и получил степень кандидата технических наук. С 1978 по 1993 год Калинин служил в КГБ и ФАПСИ, занимая должность помощника первого заместителя генерального директора ФАПСИ.
В 1993 году он стал учредителем и совладельцем компании "Компьюлинк". В период с 1994 по 2000 годы Александр Калинин был генеральным директором компании "Ланк-Москва". С 1999 по 2000 год он также возглавлял Ассоциацию системной интеграции и разработки информационных и управляющих систем, руководил НТЦ "Ландата".
В 2000-2002 годах Калинин занимал должность первого заместителя директора и исполняющего обязанности директора ФГУП НИИ "Восход". В 2002 году он стал главным конструктором ГАС "Выборы" и советником министра связи Леонида Реймана по вопросам информатизации.
С 2003 года Александр Калинин работал в "Национальной компьютерной корпорации" (НКК), где был членом Совета директоров и первым вице-президентом по корпоративному управлению, а с 2005 года стал президентом НКК. В 2006 году он занял пост президента группы компаний "Аквариус", а в 2008 году вошел в состав совета директоров группы компаний "Систематика".
Летом 2009 года Калинин поддержал инициативу Минкомсвязи о переподчинении НИИ "Восход" напрямую министерству, заявив, что нынешняя схема мешает работе предприятия.
14 июля 2020 года Александр Калинин был задержан правоохранительными органами, в его компании НКК и входящих в холдинг фирмах прошли следственные мероприятия. Его сын Алексей Калинин сообщил, что в отношении него самого ограничений не имеется, и Александр Калинин не имеет отношения к уголовному делу "Почты России". Однако Тверской суд Москвы отправил Калинина под домашний арест.
В декабре 2020 года арест был продлен до марта 2021 года, и защита Александра Калинина попыталась оспорить это решение. В январе 2021 года Мосгорсуд не удовлетворил апелляционную жалобу. В июне 2021 года суд изменил меру пресечения с домашнего ареста на запрет определенных действий, позволив Калинину ходить на работу.
В 2021 году совладельцы НКК Евгений Лачков и Леонид Гольденберг подали иск к Александру Калинину на 953 миллиона рублей, обвинив его в изменении устава дочерней структуры, что привело к снижению стоимости НКК. Позднее конфликт вокруг НКК и "Аквариуса" был прекращен, и Калинин возглавил наблюдательный совет ГК "Аквариус".
В августе 2022 года Александр Калинин и его сын Алексей Калинин вошли в список крупнейших ИТ-миллиардеров России. В сентябре 2022 года завершился судебный процесс по уголовному делу о картельном сговоре, и Калинин получил условный срок в два года и десять месяцев.
В 2023 году Калинин создал АО "Суверенная мобильная инициатива. Холдинг" для разработки и производства потребительских мобильных устройств, а также продал свою долю в НКК своему сыну Алексею.